1 / Qu'est-ce qu'une fractale?

- Historique : Le mot fractale vient du latin « fractus », brisé. En effet, les fractales sont des formes géométriques obtenues par fragmentation régulière à l’infini d’une figure donnée. Le concept mathématique de fractale est relativement récent puisqu’il a été découvert en 1962 par Mandelbrot, cependant, les courbes fractales lui sont antérieures. - Définition : Les courbes fractales sont obtenues par répétition ou itération d’une même opération appelée générateur sur la figure de départ : l’initiateur. Une fractale est donc une image géométrique se reproduisant à l’infini et présentant une invariance d’échelle, c’est à dire qu’on ne peut pas, à partir d’une portion de figure, dire de quel grossissement il s’agit. En effet, chaque détail est identique à l’initiateur. Donc, si l’on change l’échelle de la figure, celle-ci reste semblable à elle-même. - Explication : Pour trouver la longueur d’une courbe fractale, on fait très souvent appel aux limites. Si on appel N le nombre d’itérations, L la longueur de l’objet, on recherche alors : lim L N→∞ L’une des propriétés de nombreuses courbes fractales est d’avoir une limite de longueur infinie mais une limite d’aire finie. Par exemple, le flocon de Koch est toujours compris dans un cercle, mais son périmètre augmente indéfiniment. De même, dans le tapis de Sierpinsky, le périmètre de tous les triangles noirs tend vers l’infini alors que leur aire tend dans le même temps vers 0. On entend aussi souvent parler de dimension fractale, c’est à dire les dimensions de l’objet. Si nous l’appelons d, on a la formule : N =(L/n)^d Nous en avons déduit par l’application des logarithmes que la dimension d est donc donnée par la formule : d =(log N)/log (L/n) où n est la longueur de l’étalon, c’est à dire de l’initiateur. Par exemple, un cube dont la longueur du côté est 2 est en fait une juxtaposition de 8 petits cubes étalons de côté 1 . On a alors:log 8/log(2/1)=3 (on sait en effet qu’un cube est en 3 dimensions :l x L x H ). D’autres objets fractals, comme les ensembles de Mandelbrot ou de Julia font, en plus, appel aux nombres complexes, mais nous avons choisi de ne pas les étudier puisqu’ils n’ont pas d’applications évidentes dans la nature.