Mandelbrot remarqua que les formes naturelles répondaient souvent à des propriétés similaires à celles des fractales. - En biologie :
Nous avons en effet recherché des images fractales dans notre environnement quotidien et nous avons relevé de nombreux exemples tels que :
- les nuages, avec les contours qui se répètent à l’intérieur même du nuage
- le flocon de neige ( on peut le rapprocher du flocon de KOCH )
- les montagnes
- la mesure de la côte de Bretagne
Hypothèse :
La côte de la Bretagne est une fractale.
Démonstration :
Il s'agit de vérifier que la côte de la Bretagne remplit les propriétés d'une fractale.
Une fractale a, sur une surface définie, un périmètre infini, comme nous venons de le voir pour le flocon de Von Koch. Une méthode usuelle consiste à mesurer la côte de la manière suivante : On ouvre un compas d'ouverture n, puis on le promène tout au long de la côte, chaque pas commençant là où le précédent se terminait.
On obtient ainsi une longueur de la cote L(n), équivalente au nombre de pas multiplié par l'ouverture de compas (n).
L(n)=n x nombre de pas
On constate ensuite que, plus la valeur de n diminue, plus la longueur L(n) augmente.
En Rouge :
n=2
Nombre de pas = 2
L(n)rouge = 4 En Jaune :
n=1
Nombre de pas = 5
L(n)jaune = 5
Donc, L(n)rouge < L(n)jaune, cela confirme bien que si n diminue, alors L(n) augmente. La côte de la Bretagne est donc une fractale, car elle a une surface finie et un périmètre infini. On peut aussi retrouver le phénomène d'auto-similarité* en Bretagne : certaines presqu'îles ressemblent à la Bretagne elle-même. Les fractales permettent donc de représenter des reliefs complexes.
-Les poumons et les vaisseaux sanguins : sans la réduction des alvéoles selon une structure fractale, notre corps serait démesuré ( rien que les poumons d’un adulte occuperaient le volume d’une sphère de rayon de 2, 8 m !)
-Le corail dont les branches se ramifient de la même façon que les racines d’un arbre ou que certaines algues.
-Les dessins sur la coquille du coquillage Cymbolia innexa REEVE sont semblables au tapis de Sierpinski.
-Les sphaignes, mousses des régions de tourbière, sont elles aussi organisées selon un plan fractal, chaque frange étant elle même redivisée en d’autres franges.
-La fougère ( voir photos avec observation de la fougère à différents grossissements )
-Les choux fleurs : par exemple, lorsque l’on « casse » un chou-fleur, on a en moyenne 13 branches ressemblant au chou-fleur entier. Le chou-fleur observé mesure à peu près 15 cm et chaque fleur obtenue environ 5 cm. Sa dimension est donc d = ln N / ln (L/n)
= ln 13 / ln (15/5)
= 2,33
On entre donc dans le domaine des dimensions non-euclidiennes.
